平行四边形

一、平行四边形的性质

1.平行四边形的对角相等；

2.平行四边形四个内角平分线所围成的四边形为矩形；

3.平行四边形的对边平行且相等；

4.平行四边形的对角线互相平分；

5.过平行四边形两对角线交点的任一直线把平行四边形分成面积相等的两部分；

6.平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等；

7.平行四边形是中心对称图形,对角线的交点为对称中心；

8.平行四边形内任意一点与四个顶点的连线所构成的四个三角形中,不相邻的两个三角形的面积之和等于平行四边形面积的一半；

9.平行四边形一边（或这边所在的直线）上的任意一点与对边的两个端点所构成的三角形的面积等于平行四边形面积的一半.

二、平行四边形的判定

1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.

特别注意：一组对边平行,另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形,可能是等腰梯形.

三、和平行四边形有关的辅助线作法

平行四边形是最常见的特殊四边形之一,它有许多可以利用的性质,为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形.

1.利用一组对边平行且相等构造平行四边形；

2.利用两组对边平行构造平行四边形；

3.利用对角线互相平分构造平行四边形；

矩形

一、矩形的性质

除具有平行四边形的特征外,还具有以下特征：

1.四个角都是直角；

2.对角线相等；

3.既是中心对称图形,又是轴对称图形；

4.面积=长×宽.

推论：直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半.

二、矩形的判定

1.有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义）；

2.对角线相等的平行四边形是矩形；

3.有三个角是直角的四边形是矩形.

温馨提示：依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形.不管原四边形的形状怎样改变,中点四边形的形状始终是平行四边形.矩形的中点四边形是菱形.

三、和矩形有关的辅助线作法

1.计算题,一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；

2.证明或探索题,一般连接矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.

菱形

一、菱形的性质

除具有平行四边形的特征外,还具有以下特征：

1.四条边相等；

2.对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角；

3.既是中心对称图形,又是轴对称图形；

4.菱形的面积=底×高=两条对角线乘积的一半.

二、菱形的判定

1.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（定义）；

2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

3.四条边相等的四边形是菱形.

三、和菱形有关的辅助线的作法

菱形是一种特殊的平行四边形,和菱形有关的作辅助线的证明题或计算题不是很多,常见的几种辅助线的方法有：

1.作菱形的高；

2.连接菱形的对角线.

正方形

一、正方形的性质

除具有平行四边形的特征外,还具有以下特征：

1.边——四条边相等,邻边垂直；

2.角——四个角都是直角；

3.对角线——相等、互相垂直、每条对角线平分一组对角；

4.既是轴对称图形,有4条对称轴,又是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点；

5.正方形的面积=边长的平方,或者等于两条对角线乘积的一半.

二、正方形的判定

1.对角线相等的菱形是正方形；
2.有一个角为直角的菱形是正方形；
3.对角线互相垂直的矩形是正方形；
4.一组邻边相等的矩形是正方形；
5.一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；
6.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；
7.对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形；
8.一组邻边相等,有三个角是直角的四边形是正方形；
9.既是菱形又是矩形的四边形是正方形.

三、与正方形有关的辅助线的作法

正方形是一种完美的几何图形,它既是轴对称图形,又是中心对称图形,有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线,作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.