学业水平考试数学模拟试卷(8)
(时间:120分钟 分数:120分)
一、选择题(本题满分24分,共有8道小题,每小题3分.下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论,其中只有一个是正确的,每小题选对得分;不选、选错或选出的标号超过一个的不得分)
1.的倒数是( )
A.- B.- C.-3 D.
2.下列计算正确的是( )
A. B.·
C. D.
3.科学家在实验中检测出某微生物约为0.000 003 5米,将0.000 003 5用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4.下列图形是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
5.为了了解某班同学一周的课外阅读量,任选班上15名同学进行调查,统计如表,则下列说法错误的是( )
阅读量(单位:本/周) |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
人数(单位:人) |
1 |
4 |
6 |
2 |
2 |
A.中位数是2 B.平均数是2
C.众数是2 D.极差是2
6.如图,△ABC的顶点坐标分别为A(4,4),B(2,1),C(5,2),沿某一直线作△ABC的对称图形,得到△A′B′C′,若点A的对应点A′的坐标是(3,5),那么点B的对应点B′的坐标是( )
A.(0,3) B.(1,2) C.(0,2) D.(4,1)
7.电脑病毒传播快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染,若每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑,则下列方程正确的是( )
A.x(x+1)=81 B.=81
C.1+x+x(x+1)=81 D.=81
8.已知二次函数+2x-10,小明利用计算器列出了下表:
x |
-4.1 |
-4.2 |
-4.3 |
-4.4 |
+2x-10 |
-1.39 |
-0.76 |
-0.11 |
0.56 |
那么方程+2x-10=0的一个近似根x大致范围是( )
A.4.3<x<4.4 B.2.3<x<2.4
C.-2.4<x<-2.3 D.-3.4<x<-3.3
二、填空题(本题满分18分,共有6道小题,每小题3分)
9.计算:= .
10.如图,实线部分是半径为15 m的两条等弧组成的游泳池,若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心,则游泳池的周长是 m.
11.在一个不透明的袋子中装有除颜色外其余均相同的7个小球,其中红球2个,黑球5个,若再放入m个一样的黑球并摇匀,此时,随机摸出一个球是黑球的概率等于,则m的值为 .
12.如图,四边形ABCD是菱形,∠DAB=50°,对角线AC,BD相交于点O,DH⊥AB于H,连接OH,则∠DHO
= 度.
13.如图是一个几何体的三视图(图中尺寸单位:cm),根据图中所示数据计算这个几何体的表面积为
.
14.如图,直线y=x+4与双曲线y=(k≠0)相交于A(-1,a),B两点,在y轴上找一点P,当PA+PB的值最小时,点P的坐标为 .
三、作图题(本题满分4分)用圆规、直尺作图,不写作法,但要保留作图痕迹.
15.求作:⊙O,使⊙O与∠BAC的两边分别相切,其中与AB相切于点D,且圆心O落在∠ABC的内部.
四、解答题(本题满分74分,共有9道小题)
16.(8分)(1)计算:
(2)解不等式组
17.(6分)小新和小刚利用如图所示的转盘玩“配紫色”游戏,其中一个转盘中的蓝色和红色区域面积一样大,另一个转盘中的蓝色区域的面积仅是红色区域面积的一半,分别转动两个转盘的指针,如果两个转盘的指针所指的颜色能够配成紫色(红色和蓝色能配成紫色),则算小新赢,否则小刚赢.这个游戏对小新和小刚来说是否公平?如果不公平,应如何调节转盘颜色面积的大小?如果公平,请说明理由.
18.(6分)如图,为了测量出楼房AC的高度,从距离楼底C处60米的点D(点D与楼底C在同一水平面上)出发,沿斜面坡度为i=1∶的斜坡DB前进30米到达点B,在点B处测得楼顶A的仰角为53°,求楼房AC的高度(参考数据:sin 53°≈0.8,cos 53°≈0.6,tan 53°≈,计算结果用根号表示,不取近似值).
19.(6分)学习成为现代人的时尚,某市有关部门统计了最近6个月到图书馆的读者的职业分布情况,并做了
下列两个不完整的统计图.
(1)在统计的这段时间内,共有 万人次到图书馆阅读,其中商人所占百分比为 ;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)若5月份到图书馆的读者共28 000人次,估计其中约有多少人次读者是职工?
20.(8分)某中学组织学生到商场参加社会实践活动,他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作,已知该运动鞋每双的进价为120元,为寻求合适的销售价格进行了4天的试销,试销情况如表所示:
|
第1天 |
第2天 |
第3天 |
第4天 |
售价x(元/双) |
150 |
200 |
250 |
300 |
销售量y(双) |
40 |
30 |
24 |
20 |
(1)观察表中数据,x,y满足什么函数关系?请求出这个函数关系式;
(2)若商场计划每天的销售利润为3 000元,则其单价应定为多少元?
21.(8分)如图,在矩形ABCD中,M,N分别是AD,BC的中点,P,Q分别是BM,DN的中点.
(1)求证:△MBA≌△NDC;
(2)四边形MPNQ是什么样的特殊四边形?请说明理由.
22.(10分)如图,排球运动员甲站在点O处练习发球,将球从O点正上方2 m的A处发出,把球看成点,其运行路线是抛物线的一部分.当球运动到最高点D时,其高度为2.6 m,离甲站立地点O点的水平距离为
6 m.球网BC离O点的水平距离为9 m,以O为坐标原点建立如图所示的坐标系,乙站立地点M的坐标为(m,0).
(1)求出抛物线的解析式;(不写出自变量的取值范围)
(2)求排球落地点N离球网的水平距离;
(3)乙原地起跳可接球的最大高度为2.4米,若乙因为接球高度不够而失球,求m的取值范围.
23.(10分)问题提出:
从A到B共有8个台阶,如果某同学在上台阶时,可以一步1个台阶,也可以一步2个台阶.那么该同学从A走到B共有多少种不同的走法?
问题探究:
为解决上述实际问题,我们先建立如下数学模型:
用若干个边长都为1的正方形(记为1×1矩形)和若干个边长分别为1和2的矩形(记为1×2矩形),如图①,要拼成一个边长分别为1和n的矩形(记为1×n矩形),如图②,有多少种不同的拼法?(设表示不同拼法的个数)
图① 图②
为解决上述数学模型问题,我们采取的策略和方法是:一般问题特殊化.
探究一:先从最特殊的情形入手,即要拼成一个1×1矩形,有多少种不同拼法?
显然,只有1种拼法,如图③,即=1种.
图③ 图④
探究二:要拼成一个1×2矩形,有多少种不同拼法?
不难看出,有2种拼法,如图④,即=2种.
探究三:要拼成一个1×3矩形,有多少种不同拼法?
拼图方法可分为两类:一类是在图④这2种1×2矩形上方,各拼上一个1×1矩形,即这类拼法共有=2种;另一类是在图③这1种1×1矩形上方拼上一个1×2矩形,即这类拼法有=1种,如图⑤.
即= 2+1=3(种).
图⑤ 图⑥
探究四:要拼成一个1×4矩形,有多少种不同拼法?
拼图方法可分为两类:一类是在图⑤这3种1×3矩形上方,各拼上一个1×1矩形,即这类拼法共有=3种;另一类是在图④这2种1×2矩形上方,各拼上一个1×2矩形,即这类拼法共有=2种,如图⑥.即=3+2=5(种).
探究五:要拼成一个1×5矩形,有多少种不同拼法?
仿照上述探究过程进行解答,并求出(不需画图).
探究六:一般地,要拼成一个1×n矩形(n≥3的整数),有= 种不同拼法.(已知=a,=b)
问题解决:把“问题提出”中的实际问题,转化为“问题探究”中的数学模型,并进行解答.
24.(12分)如图①,四边形ABCD中,AD∥BC,DC⊥BC,AD=6 cm,DC=8 cm,BC=12 cm.动点M在CB上运动,从C点出发到B点,速度每秒2 cm;动点N在BA上运动,从B点出发到A点,速度每秒1 cm.两个动点同时出发,当其中一个点到达终点时,另一个点也随即停止,设两个点的运动时间为t(秒).
图① 图②
(1)求线段AB的长.
(2)当t为何值时,MN∥CD?
(3)设三角形DMN的面积为S,求S与t之间的函数关系式.
(4)如图②,连接BD,是否存在某一时刻t,使MN与BD互相垂直?若存在,求出这时的t值;若不存在,请说明理由.
参考答案
1.D 2.D 3.A 4.C 5.D 6.A 7.C 8.B
9. 10.40π 11.3
12.25 13.4π 14.
15.解:如图,⊙O为所作.
16.解:(1)原式=3+×-2-1+2
=3+1-2-1+2 =3.
(2)
由①得,x<3,
由②得,x≥2,
故不等式组的解集为2≤x<3.
17.解:游戏公平.理由如下:
配成紫色的概率为,不能配成紫色的概率为,概率相等,所以游戏公平.
18.解:如图作BN⊥CD于N,BM⊥AC于M.
在Rt△BDN中,BD=30,BN∶ND=1∶,
∴ BN=15,DN=15.
∵ ∠C=∠CMB=∠CNB=90°,
∴ 四边形CMBN是矩形,
∴ CM=BN=15,BM=CN=60-15=45.
在Rt△ABM中,tan∠ABM=,
∴ AM=60,
∴ AC=AM+CM=15+60.
19.解:(1)根据题意,得4÷25%=16(万人次),其中商人所占百分比为=12.5%,故答案为:16,12.5%.
(2)职工到图书馆阅读的人数为16-4-4-2=6(万人次).
(3)若5月份到图书馆的读者共28 000人次,估计其中的读者是职工的人数为28 000×=10 500(人次).
20.解:(1)由表中数据得:xy=6 000,
∴ y=,∴ y是x的反比例函数,
故所求函数关系式为y=.
(2)由题意得:(x-120)y=3 000,
把y=代入得:(x-120)·=3 000,
解得:x=240.
经检验,x=240是原方程的根.
答:若商场计划每天的销售利润为3 000元,则其单价应定为240元.
21.证明:(1)∵ 四边形ABCD是矩形,∴ AB=CD,AD=BC,∠A=∠C=90°.
∵ 在矩形ABCD中,M,N分别是AD,BC的中点,
∴ AM=AD,CN=BC,∴ AM=CN.
在△MAB和△NDC中,
∵
∴ △MBA≌△NDC(SAS).
(2)四边形MPNQ是菱形.
理由如下:连接AP,MN,则四边形ABNM是矩形.
∵ AN和BM互相平分,则A,P,N在同一条直线上,
易证:△ABN≌△BAM,∴ AN=BM.
∵ △MAB≌△NCD,∴ BM=DN.
∵ M,N分别为AD,BC的中点,∴ MD=BN.
∴ 四边形MDNB为平行四边形.
∵ P,Q分别是BM,DN的中点,∴ PM=NQ.
又MP∥NQ,∴ 四边形MPNQ是平行四边形.
∵ M是AD中点,Q是DN中点,
∴ MQ=DN,∴ MQ=BM.
∵ MP=BM,∴ MP=MQ,
∴ 平行四边形MQNP是菱形.
22.解:(1)由题意可设:+2.6,把点A(0,2)的坐标代入关系式解得:a=-,
∴ 抛物线的解析式为y=-+2.6.
(2)令y=0,解得=6-2(舍去),=6+2,
∵ OC=9,∴ CN=6+2-9=2-3.
(3)若运动员乙原地起跳到最大高度时刚好接到球,此时-+2.6=2.4,
解得:=6+2,=6-2.
∵ 运动员接球高度不够,
∴ 6-2<m<6+2.
∵ OC=9,乙运动员接球时不能触网,
∴ m的取值范围为9<m<6+2.
23.解:探究五:∵ =5,=3+5=8,
∴ 要拼成一个1×5矩形,有8种不同拼法.
探究六:一般地,要拼成一个1×n矩形(n≥3的整数),有=a+b(种)不同拼法,故答案为a+b.
∵ 从A到B共有8个台阶,如果某同学在上台阶时,可以一步1个台阶,也可以一步2个台阶,
∴ =1种,即=2+1=3(种),=3+2=5(种),=8(种),
∴ =5+8=13,=13+8=21,
∴ =13+21=34.
答:从A到B共有8个台阶,如果某同学在上台阶时,可以一步1个台阶,也可以一步2个台阶.那么该同学从A走到B共有34种不同的走法.
24.解:(1)如图①,作AE⊥BC于E,根据题意得,AE=DC=8,EC=AD=6,BE=BC-EC=6,
在Rt△ABE中,由勾股定理得,AB=10.
(2)若MN∥CD,则NM⊥BC,=cos B=,即,解得t=秒.
(3)△DMN的面积S=梯形ABCD的面积-△CDM的面积-△BMN的面积-△ADN的面积
=×(6+12)×8-×2t×8-×(12-2t)×t-×6×
=,又M从C点运动到B点所需的时间为6秒,N从B点运动到A点所需的时间为10秒,
依题意,两者取小值6秒,
所以,S=(0≤t≤6).
图① 图②
(4)假设存在,则有MN⊥BD,显然有∠BMN=∠BDC,tan∠BMN=tan∠BDC=,
如图②,过点N作NF⊥BC于F,
依题意可求得NF=t,MF=12-2t-t,
所以,=tan∠BMN=,
解得t=<6秒,符合题意,
所以存在t=,使MN⊥BD.