中考零距离·数学·鲁教版
学业水平考试数学模拟试卷(9)
(时间：120分钟 分数：120分)
一、选择题(本题满分24分，共有8道小题，每小题3分.下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的，每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分)
1.下列实数中，是无理数的为( )
A.-4 B.0.101
001 C.
D.
2.如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体,其左视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.如图,过⊙O上一点C作⊙O的切线,交⊙O直径AB的延长线于点D.若∠D=40°,则∠A的度数为( )
A.20° B.25° C.30° D.40°
4.用科学记数法表示的数是
,则原来的数是( )
A.169 B.1 690 C.16 900 D.169 000
5.小明想了解全校3 000名同学对新闻、体育、音乐、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况,从中抽取了一部分同学进行了一次抽样调查,利用所得数据绘制成下面的统计图，根据图中所给信息,全校喜欢娱乐类节目的学生大约有( )人.
A.1 080 B.900 C.600 D.108
6.若关于x的一元二次方程
+4x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )
A.k<5 B.k<5,且k≠1
C.k≤5,且k≠1 D.k>5
7.如图,将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置,此时AC′的中点恰好与D点重合,AB′交CD于点E.若AB=6,则△AEC的面积为( )
A.12 B.4
C.8 D.6
8.抛物线
+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=ax+b与反比例函数y=
在同一平面直角坐标系内的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题(本题满分18分，共有6道小题，每小题3分)
9.计算：
×= .
10.如图是一个可以自由转动的转盘,如果转动一次转盘,转盘中阴影部分的扇形的圆心角度数为120°，则停止后指针指向阴影部分的概率是 .
11.如图,△ABC中,∠B=90°,AB=6,将△ABC平移至△DEF的位置,若四边形DGCF的面积为15,且DG=4,则CF= .
12.如图,矩形ABCD中,AD=4,AB=2,以点A为圆心,AD为半径画弧交BC于点E,所得的扇形的弧长为 .
13.如图,两直线
=ax+3与
x相交于点P,当
≤3时,x的取值范围为 .
14.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是 .
三、作图题(本题满分4分)用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
15.如图，在△ABC中，利用尺规作图，画出△ABC的内切圆.
四、解答题(本题满分74分，共有9道小题)
16.(8分)(1) 解二元一次方程组：
(2)先化简：
÷
，然后再从-2＜x≤2的范围内选取一个合适的x的整数值代入求值．
17.(6分)甲、乙两同学设计了这样一个游戏：把三个完全一样的小球分别标上数字1、2、3后，放在一个不透明的口袋里，甲同学先随意摸出一个球，记住球上标注的数字，然后让乙同学抛掷一个质地均匀、各面分别标有数字1、2、3、4、5、6的正方体骰子，又得到另一个数字，再把两个数字相加．若两人的数字之和小于7，则甲获胜；否则，乙获胜．
(1)请你用列表法或画树状图把两人所得的数字之和的所有结果都列举出来；
(2)这个游戏公平吗？请说明理由；如果不公平，请你加以改进，使游戏变得公平．
18.(6分)某校要从九年级(一)班和(二)班中各选取10名女同学组成礼仪队，选取的两班女生的身高如下：
(单位：厘米)
(一)班：168 167 170 165 168 166 171 168 167 170
(二)班：165 167 169 170 165 168 170 171 168 167
(1)补充完成下面的统计分析表:
|
班级 |
平均数 |
方差 |
中位数 |
极差 |
|
一班 |
168 |
|
168 |
6 |
|
二班 |
168 |
3.8 |
|
|
(2)请选一个合适的统计量作为选择标准，说明哪一个班能被选取．
19.(6分)如图是放在水平地面上的一把椅子的侧面图，椅子高为AC，椅面宽为BE，椅脚高为ED，且AC⊥BE，AC⊥CD，AC∥ED．从点A测得点D,E的俯角分别为64°和53°．已知ED=35 cm，求椅子高AC约为多少？
(参考数据：tan 53°≈
，sin 53°≈
，tan 64°≈2，sin 64°≈
)
20.(8分)小李是某服装厂的一名工人，负责加工A，B两种型号服装，他每月的工作时间为22天，月收入由底薪和计件工资两部分组成，其中底薪900元，加工A型服装1件可得20元，加工B型服装1件可得12元．已知小李每天可加工A型服装4件或B型服装8件，设他每月加工A型服装的时间为x天，月收入为y元．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)根据服装厂要求，小李每月加工A型服装数量应不少于B型服装数量的
，那么他的月收入最高能达到多少元？
21.(8分)如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△
的位置，AB与
相交于点D，AC与,
分别交于点E,F．
(1)求证：△BCF≌△
．
(2)当∠C=α度时，判定四边形
的形状并说明理由．
22.(10分)我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6 dm，锅深3 dm，锅盖高1 dm(锅口直径与锅盖直径视为相同)，建立直角坐标系如图①所示(图②是备用图)，如果把锅纵断面的抛物线记为
，把锅盖纵断面的抛物线记为
．
图① 图②
(1)求和的解析式；
(2)如果炒菜锅里的水位高度是1 dm，求此时水面的直径；
(3)如果将一个底面直径为3 dm，高为3 dm的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由.
23.(10分)提出问题：如图①，在四边形ABCD中，点E,F是AD的n等分点中最中间2个，点G,H是BC的n等分点中最中间2个(其中n为奇数)，连接EG,FH，那么
与
之间有什么关系呢？
图① 图②
探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：
(1)如图②：四边形ABCD中，点E,F是AD的3等分点，点G,H是BC的3等分点，连接EG,FH，那么与之间有什么关系呢？
如图③，连接EH,BE,DH，因为△EGH与△EBH高相等，底的比是1∶2，
所以
.
因为△EFH与△DEH高相等，底的比是1∶2，
所以
，
所以
+
，
即
.
连接BD，因为△DBE与△ABD高相等，底的比是2∶3，
所以
.
因为△BDH与△BCD高相等，底的比是2∶3，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
×
.
图③ 图④
(1)如图④：在四边形ABCD中，点E,F是AD的5等分点中最中间2个，点G,H是BC的5等分点中最中间2个，连接EG,FH，猜想：与之间有什么关系呢?验证你的猜想.
(2)问题解决：如图①，在四边形ABCD中，点E,F是AD的n等分点中最中间2个，点G,H是BC的n等分点中最中间2个(其中n为奇数)，连接EG,FH，
那么与之间的关系为： .(不必写出求解过程)
问题拓展：仿照上面的探究思路，若n为偶数，请再给出一个一般性结论.(画出图形，不必写出求解过程)
24.(12分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=8 cm．点P从A出发，沿AB方向，以2 cm/s的速度向点B运动，点Q从C出发，沿CA方向，以1 cm/s的速度向点A运动；若两点同时出发，当其中一点到达端点时，两点同时停止运动，设运动时间为t(s)，△APQ的面积为
.
(1)t=2时，则点P到AC的距离是 cm，S＝ 
；
(2)t为何值时，PQ⊥AB；
(3)t为何值时，△APQ是以AQ为底边的等腰三角形；
(4)求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值．
参考答案
1.D 2.A 3.B 4.D 5.A 6.B 7.B 8.B
9.5 10. 11.
12.
13.0≤x<4
14.1.2
15.略
16.解：(1)
①×2+②得7x=14，即x=2，
把x=2代入①得y=-3，
则方程组的解为
(2) ÷ =
÷
=×
.
其中
即x≠-1,0,1．
又∵ -2＜x≤2且x为整数，∴ x=2．
将x=2代入
中得：
=4．
17.解:(1)列表如下:(树状图也可)
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
(2)∵
P(甲获胜)=
,P(乙获胜)=
,
∴ P(甲获胜)≠P(乙获胜),∴ 游戏不公平.
为使游戏公平,可做如下改进:若两人的数字之和小于6,则甲胜;否则乙胜.(答案不唯一)
18.解：(1)一班的方差=
+…
]=3.2；
二班的极差为171-165=6；
二班的中位数为168；
补全表格如下：
|
班级 |
平均数 |
方差 |
中位数 |
极差 |
|
一班 |
168 |
3.2 |
168 |
6 |
|
二班 |
168 |
3.8 |
168 |
6 |
(2)选择方差做标准，
∵ 一班方差＜二班方差，成绩稳定，
∴ 一班可能被选取．
19.解：在Rt△ACD中，tan∠ADC=tan 64°=
=2，CD=
，
在Rt△ABE中，tan∠AEB=tan 53°=
，BE=
AB ，
BE=CD，得
AB,
解得AB=70 cm，
AC=AB+BC=AB+DE=70+35=105 cm．
20.解:(1)由题意得,y=20×4x+12×8×(22-x)+900,即y=-16x+3 012.
(2)∵
依题意,得4x≥×8×(22-x),∴ x≥12.
在y=-16x+3 012中,
∵ -16<0,∴ y随x的增大而减小.
∴ 当x=12时,y取最大值,此时y=-16×12+3 012=2 820.
答:当小李每月加工A型服装12天时,月收入最高,可达2 820元.
21.(1)证明：∵ △ABC是等腰三角形，
∴ AB=BC，∠A=∠C.
∵
将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△的位置，
∴
=AB=BC，∠A=∠
=∠C，∠
=∠
，
在△BCF与△中，
∴
△BCF≌△.
(2)解：四边形是菱形，
∵
将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△
的位置，
∴
∠=∠A.
∵
∠ADE=∠
，∴ ∠AED=∠=α，
∴ ∠DEC=180°-α.
∵
∠C=α，∴
∠=α，
∴
∠ABC=360°-∠-∠C-∠
=180°-α，
∴
∠=∠C，∠
=∠，
∴
四边形是平行四边形.
∵
=BC，∴
四边形是菱形．
22.解:(1)由于抛物线、都过点A(-3,0)、B(3,0),可设它们的解析式为y=a(x-3)(x+3).
抛物线还经过D(0,-3),
则有-3=a(0-3)(0+3),解得a=,
即抛物线的解析式为y=
-3(-3≤x≤3);
抛物线还经过C(0,1),
则有1=a(0-3)(0+3),解得 a=-
,
即抛物线的解析式为y=-
+1(-3≤x≤3).
(2)当炒菜锅里的水位高度为1 dm时,y=-2,即-3=-2,
解得x=±,∴ 此时水面的直径为2 dm.
(3)锅盖能正常盖上,理由如下:
当x=
时,抛物线:y=×
-3=-
,抛物线:y=-×+1=,
而
=3,∴ 锅盖能正常盖上.
23.解：(1)四边形ABCD中,点E,F是AD的5等分点中最中间2个,点G，H是BC的5等分点中最中间2个,连接EG,FH,
如图：连接EH,BE,DH,
因为△EGH与△EBH高相等,底的比是1∶3,
所以
.
因为△EFH与△DEH高相等,底的比是1∶3,
所以
，
所以
+
，
即
.
连接BD,
因为△DBE与△ABD高相等,底的比是3∶5,
所以
.
因为△BDH与△BCD高相等,底的比是3∶5,所以
，
所以
，
即
，
所以
×
．
(2)在四边形ABCD中,点E,F是AD的n等分点中最中间2个,点G,H是BC的n等分点中最中间2个(其中n为奇数),连接EG,FH,那么
．
问题拓展：在四边形ABCD中,点E,F是AD的n等分点中最靠近中点的2个,点G,H是BC的n等分点中最靠近中点2个(其中n为偶数),连接EG,FH,那么
．
24.解:经过t s,AP=2t,CQ=t,AQ=6-t,
在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6 cm,BC=8 cm，
由勾股定理可求出AB=10 cm,
(1)如图，作PH⊥AC于H，
当t=2时，AP=4 cm,AQ=6-2=4 cm.
∵ ∠C=90°,PH⊥AC,∴ PH∥BC,
∴
,即
,解得PH=
cm,
S=
×AQ×PH=
.
故答案为，
.
(2)当PQ⊥AB时，又∠C=90°，
∴
△APQ∽△ACB，∴
，即
,
解得t=
.∴ 当t=时，PQ⊥AB.
(3)如图，当△APQ是以AQ为底边的等腰三角形时，AH=AQ，
∵
△AHP∽△ACB，∴
，即
,
解得AH=
t,∴ t=(6-t),解得t=
,
∴
当t=时，△APQ是以AQ为底边的等腰三角形.
(4)∵
△AHP∽△ACB，∴
，即
,解得PH=
t,
∴
S=×AQ×PH=×t×(6-t)=-
,
∴
当t=3时，S最大，最大值为
.